Каждый день мы видим узоры и осознаем, что кто-то немало потрудился, чтобы их создать. А что можно сказать об узорах, встречающихся в природе? Что они скрывают?
К примеру, возьмем снежинки. Данные кристаллики образуются, когда водяной пар в облаке преобразуется в лед. По мере увеличения кристалликов в размерах возникают изящные ажурные узоры. Если рассматривать отдельную снежинку, то можно увидеть, что ее лучики разветвляются все снова и снова, образуя лучики меньших габаритов. Это свойство самоподобия математики называют фракталом. Фрактал — это своеобразная фигура, в которой один и тот же мотив самокопируется в поэтапно уменьшающемся масштабе.
К примеру, возьмем снежинки. Данные кристаллики образуются, когда водяной пар в облаке преобразуется в лед. По мере увеличения кристалликов в размерах возникают изящные ажурные узоры. Если рассматривать отдельную снежинку, то можно увидеть, что ее лучики разветвляются все снова и снова, образуя лучики меньших габаритов. Это свойство самоподобия математики называют фракталом. Фрактал — это своеобразная фигура, в которой один и тот же мотив самокопируется в поэтапно уменьшающемся масштабе.
Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Действительно, рассмотрев фрактал, вы тут же заметите что он остается подобным самому себе бесконечно длительное время.
Действительно, рассмотрев фрактал, вы тут же заметите что он остается подобным самому себе бесконечно длительное время.
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
Множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
Множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
Треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
Губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве:
Примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
Кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
Кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
Кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.